Egzamin ósmoklasisty Matematyka 2025

Część 1: Obliczenie łącznej kwoty ze stycznia i lutego (wybór A/B)

Z diagramu odczytujemy kwoty odłożone w poszczególnych miesiącach:

• Styczeń: $50$ zł
• Luty: $40$ zł

Suma za te dwa miesiące wynosi: $50 + 40 = 90$ zł. Cena deskorolki to $180$ zł. Obliczamy, jaki to procent ceny:

$\frac{90}{180} \cdot 100\% = \frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%$

Zatem poprawna odpowiedź to B.

Część 2: Porównanie kwoty z marca i stycznia (wybór C/D)

Z diagramu odczytujemy:

• Marzec: $60$ zł
• Styczeń: $50$ zł

Obliczamy różnicę kwot: $60 - 50 = 10$ zł. Aby dowiedzieć się, o ile procent kwota z marca jest większa od tej ze stycznia, dzielimy różnicę przez kwotę ze stycznia:

$\frac{10}{50} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Zatem poprawna odpowiedź to D.

Ostatecznie poprawna para odpowiedzi to BD.

Aby obliczyć wartość wyrażenia $(2,4 - 5\frac{1}{3}) : (-2)$, musimy najpierw wykonać działanie w nawiasie, a następnie wynik podzielić przez $-2$.

Krok 1: Zamiana na ułamki zwykłe i odejmowanie w nawiasie

$2,4 - 5\frac{1}{3} = \frac{24}{10} - \frac{16}{3} = \frac{12}{5} - \frac{16}{3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym jest $15$:

$\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{36}{15} - \frac{80}{15} = -\frac{44}{15}$

Krok 2: Dzielenie przez $-2$

Dzielenie przez liczbę jest równoznaczne z mnożeniem przez jej odwrotność. Pamiętamy, że dzielenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni:

$(-\frac{44}{15}) : (-2) = (-\frac{44}{15}) \cdot (-\frac{1}{2})$

Skracamy $44$ oraz $2$ przez $2$:

$\frac{22}{15} \cdot \frac{1}{1} = \frac{22}{15}$

Krok 3: Wyłączenie całości

$\frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$

Wynik końcowy to $1\frac{7}{15}$, co odpowiada odpowiedzi C.

Szukamy liczby, która przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $1$. Możemy to sprawdzić na dwa sposoby:

Sposób 1: Dzielenie każdej liczby przez 7

• $91 : 7 = 13$ (reszta $0$, bo $7 \cdot 13 = 91$)
• $92 : 7 = 13$ reszty $1$ (bo $7 \cdot 13 + 1 = 91 + 1 = 92$)
• $95 : 7 = 13$ reszty $4$ (bo $7 \cdot 13 + 4 = 91 + 4 = 95$)
• $97 : 7 = 13$ reszty $6$ (bo $7 \cdot 13 + 6 = 91 + 6 = 97$)

Sposób 2: Wykorzystanie wielokrotności liczby 7

Najbliższą wielokrotnością liczby $7$ w okolicach podanych odpowiedzi jest $70$ oraz $21$ ($7 \cdot 10$ i $7 \cdot 3$).

Zatem liczba $91$ ($70 + 21$) jest podzielna przez $7$ bez reszty:

$91 = 7 \cdot 13$

Liczba o $1$ większa od niej, czyli $92$, będzie dawać resztę $1$:

$92 = 91 + 1$

Poprawną odpowiedzią jest zatem B.

Część 1: Porównanie sum liczb (wybór A/B)

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich ilość. Możemy więc obliczyć sumy:

• Suma liczb $a, b, c, d$: skoro średnia z $4$ liczb wynosi $9$, to ich suma wynosi $4 \cdot 9 = 36$.
• Suma liczb $e, f$: skoro średnia z $2$ liczb wynosi $6$, to ich suma wynosi $2 \cdot 6 = 12$.

Różnica tych sum wynosi: $36 - 12 = 24$.

Zatem suma pierwszych czterech liczb jest o $24$ większa (odpowiedź B).

Część 2: Średnia wszystkich sześciu liczb (wybór C/D)

Aby obliczyć średnią wszystkich liczb ($a, b, c, d, e, f$), musimy dodać ich sumy i podzielić przez łączną ilość liczb (czyli przez $6$):

$\text{Średnia} = \frac{(a+b+c+d) + (e+f)}{6} = \frac{36 + 12}{6} = \frac{48}{6} = 8$

Zatem średnia wynosi $8$ (odpowiedź C).

Poprawna para odpowiedzi to BC.

Naszym zadaniem jest przekształcenie wzoru $L = 2a + 2b + c$ tak, aby wyznaczyć z niego wartość $a$.

Krok 1: Przenosimy składniki bez $a$ na lewą stronę

Od obu stron równania odejmujemy $2b$ oraz $c$:

$L - 2b - c = 2a$

Krok 2: Dzielimy przez współczynnik przy $a$

Aby otrzymać samo $a$, musimy podzielić całą lewą stronę przez $2$:

$\frac{L - 2b - c}{2} = a$

Krok 3: Zapisanie końcowego wzoru

$a = \frac{L - 2b - c}{2}$

Odpowiada to wariantowi A

Aby wyznaczyć łączną liczbę piłek, musimy zapisać liczbę piłek każdego koloru, używając zmiennej $x$, która oznacza liczbę piłek fioletowych.

Krok 1: Wyznaczenie liczby piłek poszczególnych kolorów

• Piłki fioletowe: $x$
• Piłki białe: $4x$ (jest ich 4 razy więcej niż fioletowych)
• Piłki czarne: $4x + 3$ (skoro białych jest o 3 mniej niż czarnych, to czarnych musi być o 3 więcej niż białych)

Krok 2: Zsumowanie wszystkich piłek

Dodajemy do siebie wyrażenia opisujące wszystkie kolory:

$\text{Suma} = x + 4x + 4x + 3$

$\text{Suma} = 1x + 4x + 4x + 3$

$\text{Suma} = 9x + 3$

Poprawną odpowiedzią opisującą łączną liczbę piłek jest wyrażenie 9x + 3, co odpowiada wariantowi A.

Część 1: Obliczanie wartości wyrażenia $K$

$K = \frac{1}{9} \cdot \sqrt{\frac{1}{16}} - \frac{1}{16} \cdot \sqrt{\frac{1}{9}}$

$K = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{36} - \frac{1}{48}$

Ponieważ $\frac{1}{36}$ jest większe niż $\frac{1}{48}$ (mniejszy mianownik to większa liczba), wynik odejmowania będzie dodatni.

Zatem pierwsze zdanie "Wyrażenie $K$ ma wartość ujemną" to Fałsz (F).

Część 2: Obliczanie wartości wyrażenia $L$ i porównanie

$L = 9 \cdot \sqrt{16} - 16 \cdot \sqrt{9} = 9 \cdot 4 - 16 \cdot 3 = 36 - 48 = -12$

Teraz porównujemy wartości:

• $K$ jest liczbą dodatnią (bardzo małą, ale dodatnią).
• $L$ jest równe $-12$ (liczba ujemna).

Liczba dodatnia jest zawsze większa od ujemnej, więc $K > L$. Zdanie "Wartość wyrażenia $L$ jest większa od wartości wyrażenia $K$" to Fałsz (F).

Ostateczna odpowiedź to FF.

Aby obliczyć wartość wyrażenia $8^6 : 4^3$ i zapisać je w postaci potęgi liczby $2$, musimy najpierw zamienić podstawy potęg:

Krok 1: Zamiana podstaw na potęgę liczby 2

• $8 = 2^3$
• $4 = 2^2$

Krok 2: Podstawienie do wyrażenia i potęgowanie potęgi

• $8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}$
• $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Krok 3: Dzielenie potęg o tych samych podstawach

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie, wykładniki odejmujemy:

$2^{18} : 2^6 = 2^{18 - 6} = 2^{12}$

Zatem poprawna odpowiedź to D.

Aby obliczyć czas, w jakim rowerzysta pokonał drogę, musimy skorzystać ze wzoru na prędkość:

$v = \frac{s}{t}$

Gdzie:

• $v$ – prędkość ($5\frac{m}{s}$)
• $s$ – droga ($100$ m)
• $t$ – czas (szukane)

Krok 1: Przekształcenie wzoru

Aby wyznaczyć czas ($t$), przekształcamy wzór do postaci:

$t = \frac{s}{v}$

Krok 2: Podstawienie danych i obliczenie czasu

$t = \frac{100 \text{ m}}{5\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 20 \text{ s}$

Rowerzysta pokonał ten odcinek w czasie $20$ sekund, co odpowiada odpowiedzi B.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu pustego, musimy najpierw ustalić liczbę wszystkich losów oraz liczbę losów wygrywających.

Krok 1: Określenie liczby wszystkich losów ($\Omega$)

Wszystkich losów jest $72$. Zatem $|\Omega| = 72$.

Krok 2: Obliczenie liczby losów wygrywających

Losy wygrywające są w dwóch grupach:

• Od $1$ do $9$: to jest $9$ losów.
• Od $46$ do $72$: to jest $72 - 46 + 1 = 27$ losów.

Łącznie losów wygrywających jest: $9 + 27 = 36$.

Krok 3: Obliczenie liczby losów pustych (zdarzenie $A$)

Skoro wszystkich losów jest $72$, a wygrywających $36$, to losów pustych jest:

$|A| = 72 - 36 = 36$

Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{36}{72}$

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu pustego wynosi $\frac{36}{72}$, co odpowiada odpowiedzi D.

Krok 1: Obliczenie wysokości $BC$ trójkąta

Trójkąt $DBC$ jest prostokątny. Znamy długość jego przyprostokątnej $|DB| = 30$ cm oraz przeciwprostokątnej $|DC| = 50$ cm. Brakujący bok $|BC|$, który jest jednocześnie wysokością trójkąta, wyliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$30^2 + |BC|^2 = 50^2$

$900 + |BC|^2 = 2500$

$|BC|^2 = 1600$

$|BC| = 40 \text{ cm}$ (długość musi być dodatnia)

Krok 2: Weryfikacja pola trójkąta $DBC$

Mając podstawę $a = 30$ cm i obliczoną wysokość $h = 40$ cm, obliczamy pole:

$P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \text{ cm}^2$

Pierwsze zdanie jest zatem prawdziwe.

Krok 3: Porównanie pól trójkątów $ABC$ i $ADC$

Obliczamy pola obu figur, aby sprawdzić zachodzącą między nimi relację:

• Pole $\triangle ABC$: Podstawa $|AB| = 30 cm + 30 cm = 60$ cm, wysokość $h = 40$ cm.
  $P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 60 cm \cdot 40 cm = 1200 \text{ cm}^2$
• Pole $\triangle ADC$: Podstawa $|AD| = 30$ cm, wysokość $h = 40$ cm.
  $P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 30 cm \cdot 40 cm = 600 \text{ cm}^2$

Skoro $1200 : 600 = 2$, to pole trójkąta $ABC$ jest faktycznie dwa razy większe. Drugie zdanie również jest prawdziwe.

Poprawna odpowiedź: PP.

Krok 1: Wyznaczenie skali osi liczbowej

Musimy sprawdzić, jaką wartość ma jedna podziałka (odstęp między kreskami). Pomiędzy liczbami $56$ a $83$ znajdują się $3$ równe części.

Różnica między tymi punktami to: $83 - 56 = 27$

Wartość jednej podziałki wynosi zatem: $27 : 3 = 9$

Krok 2: Ocena prawdziwości pierwszego zdania

Punkt $C$ leży dwie podziałki w prawo od liczby $83$. Obliczamy jego współrzędną:

$83 + 9 + 9 = 101$

Liczba $101$ jest liczbą nieparzystą. Ponieważ w arkuszu zdanie twierdziło, że jest to liczba parzysta, oceniamy je jako Fałsz (F).

Krok 3: Ocena prawdziwości drugiego zdania

Sprawdźmy położenie punktu $B$. Kreska znajdująca się bezpośrednio za punktem $B$ (idąc w prawo) ma współrzędną:

$83 - 9 = 74$

Ponieważ punkt $B$ znajduje się po lewej stronie tej kreski, jego współrzędna musi być mniejsza od 74. Zdanie jest więc Prawdziwe (P).

Poprawna odpowiedź: FP.

Aby obliczyć obwód trapezu $ABCD$, musimy zsumować długości wszystkich jego boków zewnętrznych. Wykorzystujemy własności figur, z których się składa:

Krok 1: Wyznaczenie długości boków figur składowych

• Kwadrat $AEGD$: Skoro jeden z jego boków (wspólny z trójkątem) ma długość $6$, to wszystkie boki tego kwadratu mają długość $6$. Zatem: $|AE| = |EG| = |GD| = |DA| = 6$.
• Romb $FBCG$: Skoro jeden z jego boków (wspólny z trójkątem) ma długość $10$, to wszystkie boki rombu mają długość $10$. Zatem: $|FB| = |BC| = |CG| = |GF| = 10$.
• Odcinek $EF$: Z rysunku odczytujemy, że podstawa trójkąta łącząca kwadrat z rombem ma długość $8$.

Krok 2: Obliczenie obwodu trapezu

Obwód to suma odcinków tworzących "ramę" całej figury:

• Dolna podstawa $AB$: $6 (AE) + 8 (EF) + 10 (FB) = 24$
• Prawy bok $BC$: $10$
• Górna podstawa $CD$: $10 (CG) + 6 (GD) = 16$
• Lewy bok $DA$: $6$

Sumujemy wszystko razem:

$Obwód = 24 + 10 + 16 + 6 = 56$

Można to też zapisać jako sumę wszystkich odcinków zewnętrznych widocznych na schemacie:

$Obwód = 6 + 8 + 10 + 10 + 16 + 6 = 56$

Zatem poprawna odpowiedź to A.

W równoległoboku przeciwległe boki są równoległe i mają tę samą długość. Możemy to wykorzystać, analizując położenie wierzchołków w układzie współrzędnych.

Możemy zauważyć, że punkt $D$ jest przesunięty względem punktu $A$ o $2$ w prawo (z $-3$ na $-1$). Takie samo przesunięcie musi zachodzić między punktem $B$ a punktem $C$.

Skoro współrzędna $x$ punktu $C$ wynosi $4$, to współrzędna $x$ punktu $B$ musi być o $2$ mniejsza:

$4 - 2 = 2$

Dlatego poprawna odpowiedź to: C.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego sześciu ścian. Ponieważ ściany występują parami (są trzy rodzaje ścian, każda po dwie sztuki), korzystamy ze wzoru:

$P_c = 2ab + 2ac + 2bc$

Z rysunku odczytujemy długości krawędzi: $a=5$, $b=6$, $c=7$.

Krok 1: Obliczanie pól poszczególnych par ścian

• Para 1 (podstawa dolna i górna): $2 \cdot 5 \cdot 6 = 60$
• Para 2 (ściany boczne mniejsze): $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$
• Para 3 (ściany boczne większe): $2 \cdot 6 \cdot 7 = 84$

Krok 2: Sumowanie wyników

$P_c = 60 + 70 + 84 = 214$

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu wynosi 214, co odpowiada odpowiedzi D.

Wiedząc, że suma trzech rozważanych ułamków wynosi $\frac{7}{15}$, możemy zapisać następujące równanie:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{x} = \frac{7}{15}$

Krok 1: Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika (30)

$\frac{5}{30} + \frac{6}{30} + \frac{1}{x} = \frac{14}{30}$

Krok 2: Sumowanie dwóch pierwszych składników

$\frac{11}{30} + \frac{1}{x} = \frac{14}{30}$

Krok 3: Obliczenie wartości trzeciego składnika

$\frac{1}{x} = \frac{14}{30} - \frac{11}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{3}{30}$

Krok 4: Skrócenie ułamka i sformułowanie wniosku

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10}$

Z obliczeń wynika, że trzecim składnikiem jest $\frac{1}{10}$.Tym samym potwierdziliśmy, że składnik ten jest ułamkiem o liczniku 1 i całkowitym, dodatnim mianowniku.

Wprowadźmy oznaczenie dla liczby plakatów Basi, ponieważ do niej odnoszą się pozostałe osoby:

• $x$ – liczba plakatów Basi
• $x + 28$ – liczba plakatów Andrzeja (ma o 28 więcej od Basi)
• $\frac{1}{3}x$ – liczba plakatów Marka (ma 3 razy mniej od Basi)

Krok 1: Ułożenie równania

Z treści wiemy, że Andrzej i Marek mają razem 2 razy więcej plakatów od Basi:

$(x + 28) + \frac{1}{3}x = 2x$

Krok 2: Rozwiązanie równania

Pomnóżmy obustronnie przez 3, aby pozbyć się ułamka:

$3(x + 28) + x = 6x$

$3x + 84 + x = 6x$

$4x + 84 = 6x$

$84 = 2x$

$x = 42$

Krok 3: Obliczenie liczby plakatów każdego z przyjaciół

• Basia: $x = 42$
• Marek: $42 : 3 = 14$
• Andrzej: $42 + 28 = 70$

Sprawdzenie: Andrzej (70) + Marek (14) = 84. Liczba plakatów Basi (42) pomnożona przez 2 to również 84. Wyniki są poprawne.

Kluczem do zadania jest wykorzystanie faktu, że odcinek $EC$ jest równoległy do ramienia $AD$. Dzięki temu trapez został podzielony na dwie znane nam figury.

Krok 1: Wykorzystanie sumy kątów w trójkącie $EBC$

W trójkącie suma miar kątów to zawsze $180°$. Skoro znamy dwa kąty ($48°$ i $57°$), obliczamy kąt przy wierzchołku $E$:

$180° - (48° + 57°) = 75°$

Krok 2: Wyznaczenie kąta $DAB$ (kąty odpowiadające)

Ponieważ $AD$ jest równoległe do $EC$, kąt przy wierzchołku $A$ (czyli $\angle DAB$) ma dokładnie taką samą miarę jak kąt przy wierzchołku $E$ w trójkącie. Wynika to z własności kątów odpowiadających:

$|\angle DAB| = 75°$

Krok 3: Wyznaczenie kąta $CDA$ (kąty przy ramieniu trapezu)

W każdym trapezie suma kątów leżących przy tym samym ramieniu (tutaj $AD$) wynosi $180°$. Obliczamy więc miarę kąta przy wierzchołku $D$:

$|\angle CDA| = 180° - 75° = 105°$

Krok 4: Wyznaczenie pełnego kąta $BCD$

Kąt $BCD$ składa się z dwóch części: kąta w równoległoboku ($\angle DCE$) oraz kąta w trójkącie ($\angle BCE = 57°$). W równoległoboku kąty naprzeciwległe są równe, więc $|\angle DCE| = |\angle DAB| = 75°$. Sumujemy obie wartości:

$|\angle BCD| = 75° + 57° = 132°$

Aby porównać pola tablic, musimy najpierw znać ich rzeczywiste wymiary wyrażone w tych samych jednostkach.

Krok 1: Obliczanie rzeczywistych wymiarów małej tablicy

Tablica w skali $1:20$ ma bok $3$ cm. Oznacza to, że w rzeczywistości jest $20$ razy większa:

$a = 3 \text{ cm} \cdot 20 = 60 \text{ cm}$

Krok 2: Obliczanie pola powierzchni małej tablicy ($P_1$)

Mała tablica jest kwadratem, więc jej pole to:

$P_1 = 60 \text{ cm} \cdot 60 \text{ cm} = 3600 \text{ cm}^2$

Krok 3: Obliczanie pola powierzchni dużej tablicy ($P_2$)

Duża tablica ma wymiary $240$ cm na $90$ cm:

$P_2 = 240 \text{ cm} \cdot 90 \text{ cm} = 21600 \text{ cm}^2$

Krok 4: Porównanie pól (ile razy większa)

Dzielimy pole dużej tablicy przez pole małej tablicy:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{21600}{3600} = \frac{216}{36} = 6$

Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.

Najprostszym sposobem na obliczenie pola czworokąta $AECF$ jest odjęcie od pola całego kwadratu $ABCD$ pól dwóch trójkątów prostokątnych: $ABE$ oraz $ADF$.

Krok 1: Obliczanie pola kwadratu $ABCD$

Bok kwadratu ma długość $15$ cm.

$P_{kwadratu} = 15 \cdot 15 = 225 \text{ cm}^2$

Krok 2: Obliczanie pola trójkąta $ABE$

Bok $BC$ ($15$ cm) podzielono na 5 równych części. Odcinek $BE$ zajmuje dwie takie części:

$|BE| = 2 \cdot (15 : 5) = 2 \cdot 3 = 6 \text{ cm}$

Pole trójkąta $ABE$ (podstawa $15$ cm, wysokość $6$ cm):

$P_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = 45 \text{ cm}^2$

Krok 3: Obliczanie pola trójkąta $ADF$

Bok $CD$ ($15$ cm) podzielono na 3 równe części. Odcinek $DF$ zajmuje dwie takie części:

$|DF| = 2 \cdot (15 : 3) = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}$

Pole trójkąta $ADF$ (podstawa $15$ cm, wysokość $10$ cm):

$P_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 \text{ cm}^2$

Krok 4: Obliczanie pola czworokąta $AECF$

Od pola kwadratu odejmujemy pola wyliczonych trójkątów:

$P_{AECF} = 225 - 45 - 75 = 105 \text{ cm}^2$

Pole czworokąta $AECF$ wynosi 105 cm².

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat (4 krawędzie podstawy $a$) oraz 4 równe krawędzie boczne ($c$). Naszym celem jest obliczenie długości obu tych rodzajów krawędzi.

Krok 1: Obliczenie krawędzi podstawy ($a$)

Znamy pole jednej ściany bocznej ($108 \text{ cm}^2$) oraz jej wysokość ($h = 12 \text{ cm}$). Ściana boczna jest trójkątem:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

$108 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 12$

$108 = 6a \implies a = 18 \text{ cm}$

Krok 2: Obliczenie krawędzi bocznej ($c$)

Wysokość ściany bocznej ($12 \text{ cm}$) dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne. Podstawa takiego trójkąta to połowa krawędzi podstawy ($\frac{a}{2} = 9 \text{ cm}$). Korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa:

$12^2 + 9^2 = c^2$

$144 + 81 = c^2$

$c^2 = 225 \implies c = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$

Krok 3: Suma wszystkich krawędzi

Ostrosłup ma 4 krawędzie podstawy ($a$) i 4 krawędzie boczne ($c$):

$S = 4 \cdot a + 4 \cdot c$

$S = 4 \cdot 18 + 4 \cdot 15 = 72 + 60 = 132 \text{ cm}$

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa wynosi 132 cm.