Egzamin ósmoklasisty Matematyka 2024

Krok 1: Ocena prawdziwości pierwszego zdania

Z diagramu odczytujemy czas nauki w minutach od poniedziałku do czwartku:

• poniedziałek: $25$ min
• wtorek: $30$ min
• środa: $40$ min
• czwartek: $35$ min

Suma: $25 + 30 + 40 + 35 = 130$ minut.

Wiemy, że $120$ minut to $2$ godziny, więc $130$ minut = 2 godziny i 10 minut.
Zdanie jest Prawdziwe.

Krok 2: Ocena prawdziwości drugiego zdania

Odczytujemy dane dla piątku i soboty:

• piątek: $50$ min
• sobota: $30$ min

Różnica czasu wynosi: $50 - 30 = 20$ minut.

Obliczamy, jaki to procent czasu z piątku:

$$\frac{20}{50} = \frac{40}{100} = 40\%$$

W sobotę Ala uczyła się o 40% krócej niż w piątek.
Zdanie jest Prawdziwe.

Ostateczny wynik to PP.

Kluczem do rozwiązania zadania jest przedstawienie liczb $3$ i $5$ w postaci ułamków o mianowniku $4$:

$$3 = \frac{12}{4} \quad \text{oraz} \quad 5 = \frac{20}{4}$$

Zgodnie z treścią zadania szukamy ułamków, które znajdują się pomiędzy tymi dwiema wartościami. Ich licznik musi być większy od $12$, ale mniejszy od $20$:

$\frac{13}{4}, \frac{14}{4}, \frac{15}{4}, \frac{16}{4}, \frac{17}{4}, \frac{18}{4}, \frac{19}{4}$

Po wypisaniu wszystkich możliwości widać, że warunki zadania spełnia dokładnie 7 ułamków.

Prawidłowa odpowiedź to B.

Pierwsze zdanie

Średnia arytmetyczna trzech liczb (12, 14 i $k$) wynosi 16. Możemy to zapisać równaniem:

$$\frac{12 + 14 + k}{3} = 16$$

Mnożymy obie strony przez 3, aby pozbyć się ułamka:

$12 + 14 + k = 48$

$26 + k = 48$

$k = 48 - 26 = 22$

Liczba $k$ faktycznie jest równa 22. Zdanie jest Prawdziwe.

Drugie zdanie

Mamy teraz pięć liczb: 12, 14, 22 (nasze $k$), 11 oraz 17. Obliczamy ich średnią:

$$\frac{12 + 14 + 22 + 11 + 17}{5} = \frac{76}{5}$$

$$\frac{76}{5} = 15,2$$

Liczba $15,2$ jest mniejsza od $16$. Zdanie mówiące, że średnia jest większa od 16, jest więc Fałszywe.

Ostateczny wynik to PF.

Część 1: Określenie znaku liczby $y$ (wybór A/B)

Liczba $y$ to suma dodatniego ułamka $\frac{4}{5}$ oraz ujemnego $-\frac{4}{3}$:

$$y = \frac{4}{5} - \frac{4}{3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika ($15$):

$$y = \frac{12}{15} - \frac{20}{15} = -\frac{8}{15}$$

Wynik jest mniejszy od zera, zatem liczba $y$ jest ujemna (A).

Część 2: Porównanie liczb $x$ i $y$ (wybór C/D)

Najpierw obliczamy wartość liczby $x$ (mnożenie):

$$x = \frac{4}{5} \cdot \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{16}{15}$$

Teraz porównujemy obie liczby ujemne: $x = -\frac{16}{15}$ oraz $y = -\frac{8}{15}$.

W przypadku liczb ujemnych ta jest mniejsza, która leży dalej od zera na osi liczbowej (ma większy licznik bez uwzględnienia znaku):

$$-\frac{16}{15} < -\frac{8}{15}$$

Zatem liczba $x$ jest mniejsza (C) od liczby $y$.

Poprawna para odpowiedzi to AC.

Zauważmy, że skoro odcinek $EC$ jest równoległy do boku $AD$, a podstawa $AB$ jest równoległa do $DC$, to czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem.

Krok 1: Wyznaczenie miary kąta wewnątrz trójkąta

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie są równe, więc kąt przy wierzchołku $E$ (kąt $AEC$) ma miarę $135^\circ$.

Kąt $AEC$ oraz kąt $CEB$ (leżący wewnątrz trójkąta) to kąty przyległe, więc ich suma wynosi $180^\circ$:

$$\text{Kąt } CEB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$

Krok 2: Obliczenie miary kąta $\alpha$

Teraz spójrzmy na trójkąt $EBC$. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi $180^\circ$. Znamy już dwa z nich ($80^\circ$ oraz $45^\circ$):

$$\alpha = 180^\circ - 80^\circ - 45^\circ$$

$$\alpha = 100^\circ - 45^\circ = 55^\circ$$

Kąt $\alpha$ ma miarę $55^\circ$, co odpowiada odpowiedzi A.

Punktem wyjścia jest równanie: $5x = \frac{y}{w}$. Sprawdźmy po kolei każde z przekształceń Pawła:

I. Wyznaczenie $x$:

Aby otrzymać samo $x$, musimy podzielić obie strony równania przez $5$:

$$5x = \frac{y}{w} \quad | : 5$$

$$x = \frac{y}{5w}$$

To przekształcenie jest poprawne.

II. Wyznaczenie $y$:

Aby wyznaczyć $y$, musimy pozbyć się mianownika $w$, mnożąc obie strony równania przez $w$:

$$5x = \frac{y}{w} \quad | \cdot w$$

$$5x \cdot w = y \implies y = 5xw$$

Paweł otrzymał $y = \frac{5x}{w}$, co jest błędne.

III. Wyznaczenie $w$:

Skoro z poprzedniego kroku wiemy, że $y = 5xw$, to aby wyznaczyć $w$, dzielimy obie strony przez $5x$:

$$y = 5xw \quad | : 5x$$

$$w = \frac{y}{5x}$$

To przekształcenie jest poprawne.

Poprawne przekształcenia to I oraz III. Odpowiada to wariantowi C.

Krok 1: Ocena prawdziwości pierwszego zdania

Sprawdzamy, czy $3 \cdot 9^5$ jest równe $3^{11}$. Aby to zrobić, musimy zapisać liczbę $9$ jako potęgę liczby $3$:

$$9 = 3^2$$

Podstawiamy to do wyrażenia i korzystamy z prawa potęgowania potęgi $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$:

$$3 \cdot 9^5 = 3^1 \cdot (3^2)^5 = 3^1 \cdot 3^{10}$$

Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach dodajemy wykładniki ($a^n \cdot a^m = a^{n+m}$):

$$3^1 \cdot 3^{10} = 3^{1 + 10} = 3^{11}$$

Zdanie jest Prawdziwe (P).

Krok 2: Ocena prawdziwości drugiego zdania

Upraszczamy wyrażenie $\frac{2^8 \cdot 2^7}{2^{10}}$ za pomocą praw działań na potęgach:

• W liczniku mnożymy: $2^8 \cdot 2^7 = 2^{8+7} = 2^{15}$
• Otrzymujemy ułamek: $\frac{2^{15}}{2^{10}}$
• Kreska ułamkowa to dzielenie, więc odejmujemy wykładniki: $2^{15 - 10} = 2^5$

Wyrażenie faktycznie można zapisać jako $2^5$. Zdanie jest Prawdziwe (P).

Ostateczny wynik to PP.

Prawdopodobieństwo obliczamy dzieląc liczbę interesujących nas zdarzeń (balony czerwone) przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń (wszystkie balony w pudełku).

Krok 1: Stan początkowy w pudełku

Na początku w pudełku było łącznie:

$10 \text{ (cz.)} + 8 \text{ (nieb.)} + 6 \text{ (ziel.)} + 8 \text{ (żół.)} = 32 \text{ balony}$

Krok 2: Stan po wyjęciu dwóch czerwonych balonów

Karolina wyjęła już dwa balony i oba były czerwone. Musimy więc zaktualizować liczby:

• Liczba czerwonych balonów: $10 - 2 = 8$
• Łączna liczba balonów w pudełku: $32 - 2 = 30$

Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa dla trzeciego losowania

Teraz losujemy jeden balon z 30 pozostałych, z czego 8 jest czerwonych:

$$P = \frac{8}{30}$$

Skracamy ułamek przez $2$:

$$P = \frac{4}{15}$$

Poprawna odpowiedź to C.

Rozwiązanie zadania polega na poprawnym wymnożeniu czynników przed nawiasami, a następnie zredukowaniu wyrazów podobnych.

Krok 1: Mnożenie pierwszego nawiasu

Mnożymy $x$ przez każdy wyraz w nawiasie $(x + 4)$:

$$x \cdot x + x \cdot 4 = x^2 + 4x$$

Krok 2: Mnożenie drugiego nawiasu (uważaj na znaki!)

Mnożymy $-3$ przez każdy wyraz w nawiasie $(2x - 5)$. Pamiętaj, że mnożenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni:

• $-3 \cdot 2x = -6x$
• $-3 \cdot (-5) = +15$

Otrzymujemy: $-6x + 15$

Krok 3: Redukcja wyrazów podobnych

Łączymy obie części i upraszczamy wyrazy z niewiadomą $x$:

$$x^2 + 4x - 6x + 15$$

$$x^2 - 2x + 15$$

Wynik końcowy to $x^2 - 2x + 15$, co odpowiada odpowiedzi D.

Aby dowiedzieć się, o której pociąg wyjechał, musimy od godziny przyjazdu odjąć czas, jaki pociąg spędził w trasie.

Krok 1: Obliczenie planowanej godziny przyjazdu

Pociąg przyjechał o 17:31 z 4-minutowym opóźnieniem. Oznacza to, że zgodnie z planem powinien być na miejscu o:

17:31 – 4 minuty = 17:27

Krok 2: Odjęcie czasu podróży od planowanej godziny przyjazdu

Pociąg jechał 2 godziny i 54 minuty. Odejmijmy to od godziny 17:27 etapami:

• Odejmujemy 2 godziny: 17:27 – 2h = 15:27
• Odejmujemy 54 minuty: 15:27 – 54 minuty = ?

Aby łatwiej odjąć minuty:
15:27 – 27 minut = 15:00
Zostało nam jeszcze 27 minut do odjęcia (bo 54 - 27 = 27):
15:00 – 27 minut = 14:33

Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie 14:33, co odpowiada odpowiedzi D.

Krok 1: Odczytanie wydajności farby z wykresu

Z wykresu możemy łatwo odczytać punkty, w których linie siatki przecinają się z wykresem. Przykładowo:

• $10$ litrów farby wystarcza na $100$ m² powierzchni.
• $20$ litrów farby wystarcza na $200$ m² powierzchni.

Wynika z tego, że $1$ litr farby wystarcza na $10$ m² ($100 : 10 = 10$).

Krok 2: Ocena prawdziwości pierwszego zdania

Skoro $1$ litr wystarcza na $10$ m², to $18$ litrów wystarczy na:

$$18 \cdot 10 \text{ m}^2 = 180 \text{ m}^2$$

Zdanie jest Prawdziwe (P).

Krok 3: Ocena prawdziwości drugiego zdania

Obliczamy, jaką powierzchnię pomalujemy za pomocą $12$ litrów farby:

$$12 \cdot 10 \text{ m}^2 = 120 \text{ m}^2$$

Liczba $120$ m² jest mniejsza niż wymagane $125$ m². To oznacza, że $12$ litrów farby nie wystarczy na pomalowanie takiej powierzchni.

Zdanie jest Fałszywe (F).

Ostateczny wynik to PF.

Punkt wyjściowy to $P_1 = (-1, -2)$. Musimy zmodyfikować obie jego współrzędne zgodnie z treścią zadania.

Krok 1: Obliczenie nowej współrzędnej $x$

Współrzędną $x$ punktu $P_1$ (czyli $-1$) zwiększamy o $4$:

$$-1 + 4 = 3$$

Krok 2: Obliczenie nowej współrzędnej $y$

Współrzędną $y$ punktu $P_1$ (czyli $-2$) zwiększamy o $3$:

$$-2 + 3 = 1$$

Krok 3: Odnalezienie punktu na rysunku

Szukamy punktu o współrzędnych $(3, 1)$. Oznacza to, że od środka układu współrzędnych ($0,0$) musimy przesunąć się o:

• $3$ kratki w prawo (oś $x$)
• $1$ kratkę w górę (oś $y$)

Patrząc na rysunek, punktem o takich współrzędnych jest $P_2$.

Poprawna odpowiedź to A.

Aby wyznaczyć stosunek boków $a : b$, musimy wyrazić obie te długości za pomocą tej samej jednostki. Przyjmijmy, że bok najmniejszego kwadratu (na dole po prawej) ma długość $x$.

Krok 1: Wyznaczenie boku $b$

Z rysunku widzimy, że największy kwadrat (na górze po prawej) ma bok równy szerokości trzech małych kwadratów. Zatem jego bok ma długość $3x$.

Bok $b$ całego prostokąta składa się z boku dużego kwadratu ($3x$) oraz boku małego kwadratu ($x$):

$$b = 3x + x = 4x$$

Krok 2: Wyznaczenie boku $a$

Teraz spójrzmy na lewą stronę prostokąta. Znajdują się tam dwa średnie kwadraty ułożone jeden nad drugim. Skoro ich łączna wysokość to $b = 4x$, to bok każdego z nich musi wynosić:

$$4x : 2 = 2x$$

Bok $a$ (cała szerokość) to suma boku średniego kwadratu ($2x$) oraz boku największego kwadratu ($3x$):

$$a = 2x + 3x = 5x$$

Krok 3: Obliczenie stosunku $a : b$

Mając obie wartości, zapisujemy ich stosunek:

$$a : b = 5x : 4x = 5 : 4$$

Zatem poprawna odpowiedź to B.

Krok 1: Wyznaczenie długości przyprostokątnej trójkąta $ADE$

Wiemy, że trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, więc jego przyprostokątne mają tę samą długość (oznaczmy ją jako $a$). Jego pole wynosi $200$ cm².

Ze wzglądu na to, wzór na pole trójkąta możemy zapisać w taki sposób: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a$

$$200 = \frac{1}{2} \cdot a^2$$

Mnożymy obie strony przez $2$:

$$400 = a^2 \implies a = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$$

Zatem $|AD| = 20$ cm oraz $|AE| = 20$ cm. Pierwsze zdanie jest Prawdziwe (P).

Krok 2: Wyznaczenie długości boków mniejszego trójkąta $ABC$

Na podstawie rysunku i obliczeń z Kroku 1 możemy obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta $ABC$:

• Bok $|AB| = |AD| - 12 \text{ cm} = 20 - 12 = 8 \text{ cm}$
• Bok $|AC| = |AE| - 7 \text{ cm} = 20 - 7 = 13 \text{ cm}$

Krok 3: Obliczenie pola trójkąta $ABC$

Podstawiamy otrzymane długości do wzoru na pole:

$$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ cm} \cdot 13 \text{ cm}$$

$$P_{ABC} = 4 \cdot 13 = 52 \text{ cm}^2$$

Drugie zdanie również jest Prawdziwe (P).

Ostateczny wynik to PP.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny posiada podstawę (kwadrat) oraz cztery identyczne ściany boczne (trójkąty równoramienne).

Część 1: Obliczenie pola powierzchni bocznej (wybór A/B)

Wiemy, że pole jednej ściany bocznej wynosi $\frac{2}{9}P$. Skoro ściany boczne są cztery, to ich łączna suma (pole powierzchni bocznej $P_b$) wynosi:

$$P_b = 4 \cdot \frac{2}{9}P = \frac{8}{9}P$$

Zatem poprawna odpowiedź to B.

Część 2: Obliczenie pola powierzchni podstawy (wybór C/D)

Pole powierzchni całkowitej ($P$) to suma pola podstawy ($P_p$) i pola powierzchni bocznej ($P_b$):

$$P = P_p + P_b$$

$$P = P_p + \frac{8}{9}P$$

Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć $P_p$:

$$P_p = P - \frac{8}{9}P = \frac{1}{9}P$$

Krok 3: Porównanie pola podstawy z polem jednej ściany bocznej

• Pole podstawy: $\frac{1}{9}P$
• Pole jednej ściany bocznej: $\frac{2}{9}P$

Widzimy, że $\frac{1}{9}P$ jest połową wartości $\frac{2}{9}P$. Oznacza to, że pole powierzchni podstawy jest dwa razy mniejsze (C) niż pole jednej ściany bocznej.

Poprawna para odpowiedzi to BC.

To zadanie możemy rozwiązać na te dwa przykładowe sposoby. W obu kluczowe jest ustalenie, jaką część wszystkich puzzli ułożyły dziewczynki łącznie.

Krok 1: Obliczenie łącznej części ułożonych puzzli

Ela ułożyła $\frac{2}{5}$, a Ania $\frac{1}{3}$ zestawu. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika ($15$):

$$\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$$

Dziewczynki ułożyły łącznie $\frac{11}{15}$ całego zestawu.

Sposób I: Metoda równania (algebraiczna)

Przyjmijmy, że $x$ to liczba elementów w jednym zestawie. Skoro $\frac{11}{15}$ zestawu to $440$ elementów, zapisujemy równanie:

$$\frac{11}{15}x = 440$$

Mnożymy obie strony przez $15$, aby pozbyć się ułamka:

$$11x = 6600$$

$$x = 6600 : 11 = 600$$

Sposób II: Metoda krokowa (arytmetyczna)

Skoro $\frac{11}{15}$ zestawu to $440$ elementów, możemy obliczyć wartość jednej "części" (czyli $\frac{1}{15}$):

• $\frac{1}{15}$ zestawu to: $440 : 11 = 40$ elementów.
• Cały zestaw ($\frac{15}{15}$) to: $15 \cdot 40 = 600$ elementów.

Wniosek: Jeden zestaw puzzli składa się z 600 elementów.

Rozwiązanie zadania wymaga wykonania kilku kluczowych kroków obliczeniowych, niezależnie od wybranej metody.

Krok 1: Obliczenie długości odcinka AE (Twierdzenie Pitagorasa)

Trójkąt $AED$ jest prostokątny. Obliczamy przeciwprostokątną $AE$:

$$|AE|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$

$$|AE| = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}$$

Krok 2: Wykorzystanie własności trójkąta ACE

Trójkąt $ACE$ ma dwa kąty o mierze $\alpha$ przy podstawie $AC$. Oznacza to, że jest on równoramienny, a jego ramiona mają tę samą długość:

$$|EC| = |AE| = 25 \text{ cm}$$

Sposób I: Wykorzystanie wzoru na pole trapezu

Trapez $ABCE$ ma podstawy $EC$ oraz $AB$. Długość dolnej podstawy $AB$ jest taka sama jak długość boku $DC$ prostokąta:

$$|AB| = |DC| = 15 + 25 = 40 \text{ cm}$$

Pole trapezu o podstawach $a=40$, $b=25$ i wysokości $h=20$:

$$P = \frac{(40 + 25) \cdot 20}{2} = 65 \cdot 10 = 650 \text{ cm}^2$$

Sposób II: Metoda "Dopełnienia" (odejmowanie pól)

Pole trapezu $ABCE$ możemy obliczyć jako pole całego prostokąta $ABCD$ minus pole trójkąta $AED$:

• Pole prostokąta: $40 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 800 \text{ cm}^2$
• Pole trójkąta AED: $\frac{1}{2} \cdot 15 \text{ cm} \cdot 20 \text{ cm} = 150 \text{ cm}^2$
• Wynik: $800 - 150 = 650 \text{ cm}^2$

Sposób III: Podział na prostokąt i trójkąt

Jeśli z punktu $E$ poprowadzimy wysokość na bok $AB$, podzielimy trapez na prostokąt o bokach $25 \times 20$ oraz trójkąt identyczny jak $AED$:

$$P = (25 \cdot 20) + \frac{15 \cdot 20}{2} = 500 + 150 = 650 \text{ cm}^2$$

Naszym celem jest obliczenie łącznego przychodu. Najpierw musimy ustalić, ile kilogramów truskawek sprzedano w każdym rodzaju opakowania.

Krok 1: Podział masy truskawek (120 kg)

• Duże: $50\% \text{ z } 120 = 60 \text{ kg}$
• Średnie: $10\% \text{ z } 120 = 12 \text{ kg}$
• Małe: Pozostałe, czyli $100\% - (50\% + 10\%) = 40\%$.
  $40\% \text{ z } 120 = 48 \text{ kg}$

Sposób I: Obliczanie liczby opakowań

Sprawdzamy, ile pudełek każdego rodzaju musiał sprzedać pan Jan:

• Duże (1 kg): $60 \text{ kg} : 1 \text{ kg} = 60 \text{ opakowań}$
• Średnie (0,5 kg): $12 \text{ kg} : 0,5 \text{ kg} = 24 \text{ opakowania}$ (lub $12 \cdot 2$)
• Małe (0,25 kg): $48 \text{ kg} : 0,25 \text{ kg} = 192 \text{ opakowania}$ (lub $48 \cdot 4$)

Teraz mnożymy przez ceny z tabeli:

$(60 \cdot 18) + (24 \cdot 10) + (192 \cdot 6) = 1080 + 240 + 1152 = \mathbf{2472 \text{ zł}}$

Sposób II: Obliczanie ceny za 1 kg

Możemy najpierw policzyć, ile kosztuje 1 kg truskawek w zależności od wybranego opakowania:

• W dużym: $18 \text{ zł/kg}$
• W średnim: $10 \text{ zł} \cdot 2 = 20 \text{ zł/kg}$ (bo dwa opakowania 0,5 kg dają 1 kg)
• W małym: $6 \text{ zł} \cdot 4 = 24 \text{ zł/kg}$ (bo cztery opakowania 0,25 kg dają 1 kg)

Mnożymy masę przez cenę za kg:

$(60 \cdot 18) + (12 \cdot 20) + (48 \cdot 24) = 1080 + 240 + 1152 = \mathbf{2472 \text{ zł}}$

Obie metody prowadzą do tego samego wyniku. Pan Jan otrzymał łącznie 2472 zł.

Aby obliczyć różnicę wysokości wież, musimy najpierw poznać wysokość sześcianu (podaną wprost) oraz wysokość ostrosłupa (którą musimy wyliczyć z jego objętości).

Krok 1: Obliczenie wysokości ostrosłupa ($H$)

Wiemy, że krawędź podstawy ostrosłupa wynosi $9$ cm, a jego objętość to $324$ cm³. Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$$

Najpierw obliczamy pole podstawy ($P_p$ jest kwadratem): $P_p = 9 \cdot 9 = 81$ cm².

Podstawiamy dane do wzoru: $324 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot H$

$$324 = 27 \cdot H$$

$$H = 324 : 27 = 12 \text{ cm}$$

Sposób I: Porównanie całkowitych wysokości wież

• Wieża I: Składa się z sześcianu ($10$ cm) i ostrosłupa ($12$ cm).
  Wysokość = $10 + 12 = 22$ cm.
• Wieża II: Składa się z dwóch sześcianów ($10$ cm + $10$ cm).
  Wysokość = $20$ cm.

Różnica: $22 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = \mathbf{2 \text{ cm}}$

Sposób II: Metoda logicznego uproszczenia

Zauważmy, że obie wieże mają na samym dole taki sam sześcian ($10$ cm). Aby znaleźć różnicę wysokości, wystarczy porównać tylko to, co znajduje się powyżej pierwszego klocka:

• Na pierwszej wieży jest ostrosłup o wysokości $12$ cm.
• Na drugiej wieży jest sześcian o wysokości $10$ cm.

Różnica: $12 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = \mathbf{2 \text{ cm}}$

Różnica wysokości obu wież wynosi 2 cm.